Question

在平面直角坐标系xoy中，已知=（-1，0），=（0，），=（cosθ，sinθ），其中．
（Ⅰ）若∥，求tanθ；
（Ⅱ）求的最大值；
（Ⅲ）是否存在，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（I）由向量的坐标运算法则，得=（1，），再根据向量平行的条件列式，解关于θ的等式即可求出tanθ；
（II）算出、的坐标，根据向量数量积的坐标式得到=1-2sin（），再利用三角函数的图象与性质，即可求出的最大值；
（III）分别计算•、，利用三角函数的值域得到它们都为正数，从而得到∠BAC、∠ABC都为锐角．因此只有当∠ACB为钝角时△ABC为钝角三角形，再解＜0得到关于θ的不等式，利用三角函数的图象得到θ∈（，]，即为使△ABC为钝角三角形的θ的取值范围．
【解析】
（I）∵=（-1，0），=（0，），∴=（1，）
∵=（cosθ，sinθ），∥，
∴cosθ•=sinθ•1，可得tanθ==
结合，可得；
（II）∵=（1+cosθ，sinθ），=（cosθ，sinθ-）
∴=cosθ（1+cosθ）+sinθ（sinθ-）
=cos2θ+sin2θ-（sinθ-cosθ）=1-2sin（）
∵，可得
∴-sin（），可得1-2sin（）∈[1-，2]
当且仅当θ=0时，的最大值为2；
（III）∵=（1，），=（1+cosθ，sinθ），
∴•=1+cosθ+sinθ，
结合可得•＞1为正数，因此∠BAC为锐角
同理，=3-2sin（θ+）＞0，可得∠ABC为锐角
由以上的分析，可得只有当∠ACB为钝角时，△ABC为钝角三角形
由（II），可得==1-2sin（）
当sin（）时，即时，
也就是θ时，=1-2sin（）＜0，此时∠ACB为钝角
因此存在θ∈（，]，满足△ABC为钝角三角形．