Question

函数y=f（x）满足f（3+x）=f（1-x），且x₁，x₂∈（2，+∞）时，＞0成立，若f（cos²θ+2m²+2）＜f（sinθ+m²-3m-2）对θ∈R恒成立．
（1）判断y=f（x）的单调性和对称性；
（2）求m的取值范围．

Answer

（1）由条件可得y=f （x）的对称轴为x=2，当2＜x1＜x2时，f （x1）＜f （x2）； 当2＜x2＜x1时，f （x2）＜f （x1），由此可得结论．
（2）由f（cos2θ+2m2+2）＜f（sinθ+m2-3m-2），可得|cos2θ+2m2|＜|sinθ+m2-3m-4|，即m2-3m-4+sinθ＞cos2θ+2m2（i），或m2-3m-4+sinθ＜-cos2θ-2m2（ii）恒成立．由（i）得求得m的范围，由（ii）求得m的范围，再把这2个m的范围取并集，即得所求．
【解析】
（1）由f （3+x）=f （1-x），可得f （2+x）=f（2-x），
∴y=f （x）的对称轴为x=2．…（2分）
当2＜x1＜x2时，f （x1）＜f （x2）；  当2＜x2＜x1时，f （x2）＜f （x1）．
∴y=f （x）在（2，+∝）上为增函数，在（-∞，2）上为减函数．…（4分）
（2）由f（cos2θ+2m2+2）＜f（sinθ+m2-3m-2），可得|cos2θ+2m2|＜|sinθ+m2-3m-4|，
即m2-3m-4+sinθ＞cos2θ+2m2（i），或m2-3m-4+sinθ＜-cos2θ-2m2（ii）恒成立．…（7分）
由（i）得m2+3m+4＜-cos2θ+sinθ=（sinθ+）2-恒成立，∴m2+3m+4＜-，
故 4m2+12m+21＜0恒成立，m无解．…（10分）
由（ii） 得3m2-3m-4＜-cos2θ-sinθ=（sinθ-）2-恒成立，可得3m2-3m-4＜-，
即 12m2-12m-11＜0，解得 ＜m＜．…（13分）