Question

已知=（，-1），=（，2）．f（x）=x²+²x+•，数列{a_n}满足a₁=1，3a_n=f （a_n-1）+1
（n∈N，n≥2），数列{b_n}前n项和为S_n，且b_n=．
（1）写出y=f （x）的表达式；
（2）判断数列{a_n}的增减性；
（3）是否存在n₁，n₂（n₁，n₂∈N*），使S≥1或S＜，如果存在，求出n₁或n₂的值，如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用向量的模的计算公式、数量积运算即可得出；
（2）利用（1），再进行变形即可得出；
（3）利用“裂项求和”和单调性即可得出Sn满足的条件，进而得出结论．
【解析】
（1）∵=3，=-1，
∴f （x）=x2+3x-1．
（2）∵3an=+3an-1-1+1，∴3（an-an-1）=≥0，
∵a1=1≠0，∴an＞an-1
∴数列{an}单调递增．
（3）由3an=an-1（an-1+3）得出，
∴bn=====．
∴Sn=…+
=1-．
由（2）知an单调递增，且a1=1，∴a2=，an+1≥a2=．
∴0＜≤，∴-≤-＜0，
∴≤Sn＜1．
故不存在n1使≥1，也不存在n2，使＜．