Question

已知抛物线C₁：x²=8y和圆C₂：x²+（y-2）²=4，直线l过C₁焦点，且与C₁，C₂交于四点，从左到右依次为A，B，C，D，则=    ．

Answer

首先注意到共线，因此则==（AF-BF）（FD-CF），若设A、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）则根据抛物线定义有AF=y1+2，FD=y2+2，而BF，CF均为半径，这样只需求y1•y2，再设直线l的方程为y=kx+2，联立直线和抛物线的方程求出y1•y2，
【解析】
∵抛物线C1：x2=8y的焦点为F（0，2），圆C2：x2+（y-2）2=4的圆心为（0，2），∴直线l过圆C2的圆心．
设直线l的方程为y=kx+2，A（x1，y1），D（x2，y2），联立，得y2-（4+8k2）y+4=0，
∴y1•y2=4
又根据抛物线定义得|AF|=y1+，FD=y2+，∴AF=y1+2，FD=y2+2
则==（AF-BF）（FD-CF）
=（y1+2-2）（y2+2-2）=y1•y2=4．
故答案为4