Question

如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，VA⊥平面ABC．
（Ⅰ）求异面直线DE与AB所成的角；
（Ⅱ）证明DE⊥平面VAC．

Answer

（1）将ED平移到BC，易证∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，而△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，则∠ABC为45°
（2）欲证DE⊥平面VAC，而BC∥DE，可先证BC⊥平面VAC，根据线面垂直的判定定理可知只需证BC⊥VA，BC⊥AC即可．
解（Ⅰ）因为D，E分别是VB，VC的中点，
所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE
与AB所成的角．（3分）
又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的
中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形．于是∠ABC=45°．
故异面直线DE与AB所成的角为45°．（6分）
（Ⅱ）因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥VA．（8分）
由（Ⅰ）知，BC⊥AC，所以BC⊥平面VAC．（10分）
又由（Ⅰ）知，BC∥DE，故DE⊥平面VAC．（12分）