Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为，且过点P（4，）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：=0；
（3）求△F₁MF₂的面积．

Answer

（1）双曲线方程为x2-y2=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，
（2）先求出的解析式，把点M（3，m）代入双曲线，可得出=0，
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面积．
（1）【解析】
∵e=，∴可设双曲线方程为x2-y2=λ．
∵过点（4，-），∴16-10=λ，即λ=6．
∴双曲线方程为x2-y2=6；
（2）证明：∵=（-3-2，-m），=（2-3，-m），
∴=（-3-2）×（2-3）+m2=-3+m2，
∵M点在双曲线上，∴9-m2=6，即m2-3=0，
∴=0．
（3）【解析】
△F1MF2中|F1F2|=4，由（2）知m=±．
∴△F1MF2的F1F2边上的高h=|m|=，∴S△F1MF2=6．