Question

如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F₁PF₂=，且△PF₁F₂的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．

Answer

根据点P是双曲线的左支上的一点，及双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a，由，∠F1PF2=，且△PF1F2的面积为2，可以求得|PF2|•|PF1|的值，根据余弦定理可以求得a，c的一个方程，双曲线的离心率为2，根据双曲线的离心率的定义式，可以求得a，c的一个方程，解方程组即可求得该双曲线的方程．
【解析】
设双曲线方程为：-=1（a＞0，b＞0），
F1（-c，0），F2（c，0），P（x，y）．
在△PF1F2中，由余弦定理，得：
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cos
=（|PF1|-|PF2|）2+|PF1|•|PF2|．
即4c2=4a2+|PF1|•|PF2|．
又∵S△PF1F2=2．
∴|PF1|•|PF2|•sin=2．
∴|PF1|•|PF2|=8．∴4c2=4a2+8，即b2=2．
又∵e==2，∴a2=．
∴双曲线的方程为：-=1．