Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n+（-1）ⁿ，n≥1．
（1）写出数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（2）试判断数列是否为等比数列，如果是，求出的通项公式；如果不是，请说明理由；
（3）证明：对任意的整数m＞4，有．

Answer

（1）是考查已知递推公式求前几项，属于基础题，需注意的是S1=a1，需要先求出a1才能求出a2，这是递推公式的特点．
（2）由已知化简得，an=2an-1+2（-1）n-1，进而可变为=2[an-1+]，利用等比数列的定义可作出判断；
（3）的解答需要在代换后，适当的变形，利用不等式放缩法进行放缩．
【解析】
（1）当n=1时，有：S1=a1=2a1+（-1）⇒a1=1；
当n=2时，有：S2=a1+a2=2a2+（-1）2⇒a2=0；
当n=3时，有：S3=a1+a2+a3=2a3+（-1）3⇒a3=2；
综上可知a1=1，a2=0，a3=2；
（2）是等比数列，理由如下：
由已知得：an=Sn-Sn-1=2an+（-1）n-2an-1-（-1）n-1
化简得：an=2an-1+2（-1）n-1
上式可化为：=2[an-1+]
故数列是以1=为首项，公比为2的等比数列．
（3）由（2）可知：，
所以=[]
=[++++…+]
=[1+++++…]
＜（1++++…）
=[]=[+]
==＜．