Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，）在直线y=x+上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n及使不等式T_n＜对一切n都成立的最小正整数k的值；
（3）设f（n）=问是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值； 若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意得，即Sn=n2+n．利用公式可求得an，由bn+2-2bn+1+bn=0及等差数列的定义可判断{bn}为等差数列，由前9项和为153及b3=11可求得b7，进而可得公差d，由等差数列的通项公式可求得bn；
（2）由（1）可得cn=．利用裂项相消法可求得Tn，Tn＜恒成立可转化最值解决，而由Tn的单调性可判断Tn→，从而得到结论；
（3）由（1）易知，分m为奇数、偶数两种情况进行讨论可表示出f（m+15）=5f（m），进而解得m，作出结论；
【解析】
（1）由题意，得，即Sn=n2+n．
故当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=n+5．
n=1时，a1=S1=6，而当n=1时，n+5=6，
所以an=n+5（n∈N*）；
又bn+2-2bn+1+bn=0，即bn+2-bn+1=bn+1-bn （n∈N*），
所以{bn}为等差数列，于是=153．
而b3=11，故b7=23，则公差d==3，
因此，bn=b3+3（n-3）=3n+2，即bn=3n+2（n∈N*）．
（2）cn=
=
==．
所以，Tn=c1+c2+…+cn
=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）]
=（1-）=．
易知Tn单调递增，由Tn＜得k＞2012Tn，而Tn→，
故k≥1006，∴kmin=1006．
（3），
①当m为奇数时，m+15为偶数．
此时f（m+15）=3（m+15）+2=3m+47，5f（m）=5（m+5）=5m+25，
所以3m+47=5m+25，解得m=11．
②当m为偶数时，m+15为奇数．
此时f（m+15）=m+15+5=m+20，5f（m）=5（3m+2）=15m+10．
所以m+20=15m+10，解得m=∉N*（舍去），
综上，存在唯一正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立；