Question

已知椭圆C：的左焦点为F（-1，0），离心率为，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意可知：c=1，a2=b2-c2，e=，由此能够求出椭圆的方程．
（II）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），由，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0．由直线AB过椭圆的左焦点F，记A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点N（x，y），x1+x2=，x=，垂直平分线NG的方程为y-y=-，由此能求出点G横坐标的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由题意可知：c=1，a2=b2-c2，e=…（2分）
解得：a=，b=1（3分）
故椭圆的方程为：=1（4分）
（II）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），（5分）
联立，得，
整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0（7分）
∵直线AB过椭圆的左焦点F∴方程有两个不等实根．（8分）
记A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点N（x，y）
则x1+x2=（9分）
x=（10分）
垂直平分线NG的方程为y-y=-，（11分）
令y=0，得xG=x+ky=-
=-．（12分）
∵k≠0，∴-＜0（13分）
∴点G横坐标的取值范围为（-，0）．（14分）