(1)利用数列递推式,可得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=1(n≥2,n∈N*),由此可得结论,并可求通项公式;
(2)利用错位相减法,求得数列{bn}的前n项和,代入不等式,利用函数的单调性,即可求n的取值范围;
(3)要使cn+1>cn恒成立,即3×4n-3(-1)n-1λ2n+1>0恒成立,分离参数,分类讨论,即可求得结论.
(1)证明:由已知得,,----------------(1分)
即,且a2-a1=1.----------------(2分)
所以数列{an}是以a1=2为首项,公差为1的等差数列,
所以an=n+1.------------------(4分)
(2)【解析】
由(1)知,它的前n项和为Tn.①.②
①-②得,-----------------(6分)=∴.--------------------(8分)
(3)【解析】
∵an=n+1,∴,
要使cn+1>cn恒成立,即3×4n-3(-1)n-1λ2n+1>0恒成立,∴(-1)n-1λ<2n-1恒成立,…(12分)
(i)当n为奇数时,即λ<2n-1恒成立,当且仅当n=1时,2n-1有最小值为1,∴λ<1.
(ii)当n为偶数时,即λ>-2n-1恒成立,当且仅当n=2时,-2n-1有最大值-2,∴λ>-2.
∴-2<λ<1,又λ为非零整数,则λ=-1.…(15分)
综上所述:存在λ=-1,使得对任意的n∈N*,都有cn+1>cn.…(16分)