命题①利用|得到两个正数x,y的关系,求的最小值时只要把“1”代入展开后利用基本不等式求最值;
命题②由已知求出向量,由与共线且||列式得到动点P的轨迹;
命题③利用M在平面MQR中,由共面向量基本定理得到,且λ+μ+t=1,由坐标相等得到
λ,μ,t,则结论得证;
命题④由已知的向量得到向量与的坐标,利用条件与共线且||,列式得到结论.
【解析】
对于①,由=且|,
所以,即.
又x>0,y>0.所以=.
所以命题①不成立;
对于②,由,
所以.
由与共线且||,得,
整理得:y2=-2z+1.
所以动点P的轨迹是抛物线,命题②正确;
对于③,由=,则平面MQR内的任意一点
A(x,y,z)满足,即(x,y,z)=λ(a,0,0)+μ(0,b,0)+t(0,0,c)
所以x=λa,y=μb,z=tc.所以.
由λ+μ+t=1,得=1.所以③正确;
对于④,由,,,得,.
由向量与共线且||,得
,整理得:y2-x2=1(0≤x≤4,-4≤y≤4).
所以动点P的轨迹是双曲线的一部分,所以④正确.
故正确的答案为②③④.