Question

已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB，（如图1）．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC、AB，设M是AB的中点．
（I）求证：BC⊥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角C-AB-E的正切值；
（Ⅲ）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．

Answer

（1）在图1中，过C作CF⊥EB，垂足为F，连结CE．结合题意证出四边形CDEF为边长等于1的正方形，可得CE=CB=，△BCE中利用勾股定理的逆定理证出BC⊥CE，在图2中由AE⊥平面BCDE得AE⊥BC，根据线面垂直判定定理，即可证出BC⊥平面AEC．    
（2）过点F作FH⊥AB于H，连结CH，由（1）的结论证出平面ABE⊥平面BCDE，从而得到CF⊥平面ABE，可得CH⊥AB，得∠FHC就是二面角C-AB-E的平面角．Rt△FHC中算出FH的长，算出tan∠FHC==，即可得到二面角C-AB-E的正切值；
（3）假设EM∥平面ACD，根据线面平行的判定定理证出EB∥平面ACD，结合EM、EB是相交直线证出平面AEB∥平面ACD，这与题设平面AEB与平面ACD是相交的平面矛盾．因此假设不成立，即可得到EM与平面ACD不平行．
【解析】
（1）在图1中，过C作CF⊥EB，垂足为F，连结CE
∵DE⊥EB，CD∥AB，∴四边形CDEF是矩形，
∵CD=1，∴EF=1．
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，
∴AE=BF=（AB-CD）=1．
∵∠BAD=45°，∴Rt△ADE中，DE=AE=1，
可得四边形CDEF为边长等于1的正方形
因此，CE=CB=，
由此可得△BCE中，CE2+CB2=4=BE2
∴∠BCE=90°，可得BC⊥CE
∵在图2中，AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，
∴AE⊥平面BCDE．
∵BC⊂平面BCDE，∴AE⊥BC．         
∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC．    
（2）过点F作FH⊥AB于H，连结CH
∵AE⊥平面BCDE，AE⊂平面ABE，
∴平面ABE⊥平面BCDE，
∵CF⊥BE，CF⊂平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，
∴CF⊥平面ABE，可得FH是CH在平面ABE内的射影
∵FH⊥AB，∴CH⊥AB，可得∠FHC就是二面角C-AB-E的平面角
由Rt△AEB∽Rt△FHB，可得
即，可得FH=
Rt△FHC中，tan∠FHC==
∴二面角C-AB-E的正切值等于；
（3）反证法：假设EM∥平面ACD．                          
∵EB∥CD，CD⊂平面ACD，EB⊄平面ACD，
∴EB∥平面ACD．
∵EB∩EM=E，∴平面AEB∥平面ACD                         
结合题意，平面AEB与平面ACD是相交的平面，矛盾．
∴假设不成立，可得EM与平面ACD不平行．