Question

学习曲线是1936年美国廉乃尔大学T．P．Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线为：f（t）=•100%（其中f（t））为掌握该任务的程度，t为学习时间），且这类学习任务中的某项任务满足f（2）=60%
（1）求f（t）的表达式，计算f（0）并说明f（0）的含义；
（2）已知2^x＞xln2对任意x＞0恒成立，现定义为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间f∈（1，2）时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围．

Answer

（1）由%，及f（2）=60%代入可求a，进而可求f（t），f（0），f（0）表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度
（2）令学习效率指数，（t＞0），利用函数的导数研究 的单调性，进而可求函数g（t）在（1，2）上的值域即学习效率指数相应的取值范围．
【解析】
（1）∵%，且f（2）=60%
%=60%，可得a=4
∴f（t）=
∴%
f（0）表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5% （4分）
（2）令学习效率指数，
（t＞0）
现研究 的单调性
（t＞0）（6分）
又已知x＞0时，2x＞xln2恒成立
所以2t-tln2＞0恒成立
∴g（t）在（0，+∞）上为增函数且g（t）为正数
∴上为减函数．  （8分）
而
∴
故所求学习效率指数的取值范围是（） （10分）