Question

设函数f（x）=|x²-4x-5|，g（x）=k．
（1）在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象．
（2）若函数f（x）与g（x）有3个交点，求k的值；
（3）试分析函数ϕ（x）=|x²-4x-5|-k的零点个数．

Answer

（1）先去掉绝对值，将函数f（x）转化为分段函数，再分段画出函数的图象即可画出在区间[-2，6]上函数f（x）的图象；（2）因为g（x）的图象是一条与x轴平行的直线，故数形结合即可得k的值；（3）先将函数零点问题转化为函数图象的交点个数问题，再利用两函数的图象即可数形结合讨论零点个数与k的范围
【解析】
（1）f（x）=|x2-4x-5|=，如图．
（2）∵g（x）的图象是一条与x轴平行的直线
函数f（x）与g（x）有3个交点
由f（x）的图象（下图）可知此时g（x）的图象经过
y=-（x2-4x-5）的最高点
即g（x）=k==9
∴k=9
（3）∵函数ϕ（x）=|x2-4x-5|-k的零点个数即函数f（x）与g（x）的交点个数
又∵g（x）的图象是一条与x轴平行的直线
∴由f（x）的图象（右图）可知 
k=0或k＞9时，函数ϕ（x）=|x2-4x-5|-k的零点个数为2个
0＜k＜9时，函数ϕ（x）=|x2-4x-5|-k的零点个数为4个
k=9时，函数ϕ（x）=|x2-4x-5|-k的零点个数为3个
k＜0时，函数ϕ（x）=|x2-4x-5|-k的零点个数为0个