Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，若0＜x＜1时f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数
（3）解不等式f（x）-f（x-1）≥2．

Answer

（1）令x=y=1，根据定义在（0，+∞）上的函数f（x）恒有f（xy）=f（x）+f（y），我们易构造关于f（1）的方程，解方程即可求出求f（1）；   
（2）根据已知中定义在（0，+∞）上的函数f（x）恒有f（xy）=f（x）+f（y），并且0＜x＜1时，f（x）＜0恒成立，结合函数单调性的证明方法--作差法（定义法）我们即可得到f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）结合（1）、（2）的结论，我们可将不等式f（k•3x）-f（9x-3x+1）≥f（1）转化为一个指数不等式，进而利用换元法可将问题转化为一个二次不等式恒成立问题，解答后即可得到满足条件的实数k的取值范围．
【解析】
（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
则F（1）=2f（1）
∴f（1）=0；           （5分）
证明：（2）由f（xy）=f（x）+f（y）
可得f（）=f（y）-f（x），
设x1＞x2＞0，
=
=
又x1＞x2＞0，
∴，
即f（x2）＜f（x1）．
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数；（10分）
（3）∵f（2）=1，
∴f（2×2）=f（2）+f（2）=2
由f（x）-f（x-1）≥f（4）
从而得到，
解得