Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点．
（Ⅰ）若Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ；
（Ⅱ）若PB=PD，求证：BD⊥CQ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若PA=PC，PB=3，∠ABC=60°，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer

（Ⅰ）利用三角形中位线的性质，证明OQ∥PC，再利用线面平行的判定，证明PC∥平面BDQ；
（Ⅱ）先证明BD⊥平面PAC，利用线面垂直的性质，可证BD⊥CQ；
（Ⅲ）先证明PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P-ABCD的高，求出BO=，PO=，即可求四棱锥P-ABCD的体积．
（Ⅰ）证明：连接AC，交BD于O．
因为底面ABCD为菱形，所以O为AC中点．        
因为Q是PA的中点，所以OQ∥PC，
因为OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，
所以PC∥平面BDQ．  …（5分）
（Ⅱ）证明：因为底面ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，O为BD中点．
因为PB=PD，所以PO⊥BD．
因为PO∩BD=O，所以BD⊥平面PAC．
因为CQ⊂平面PAC，所以BD⊥CQ．                                …（10分）
（Ⅲ）【解析】
因为PA=PC，所以△PAC为等腰三角形．
因为O为AC中点，所以PO⊥AC．
由（Ⅱ）知PO⊥BD，且AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P-ABCD的高．
因为四边形是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，所以BO=，
所以PO=．
所以，即． …（14分）