Question

已知向量=（sin（A-B），），=（1，2sinB），且•=-sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若，且S_△ABC=，求边c的长．

Answer

（I）根据向量数量积的坐标公式，结合题意得•=sin（A+B）=-sin2C，利用二倍角的三角函数公式和诱导公式化简得cosC=-，由此即可算出角C的大小；
（II）根据题意，由正弦定理得到．由三角形面积公式算出ab=4，再由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC的式子联解，即可算出．
【解析】
（Ⅰ）∵向量=（sin（A-B），），=（1，2sinB），
∴•=sin（A-B）+2sinB=sin（A-B）+2cosAsinB=sin（A+B）
∵•=-sin2C，∴sin（A+B）=-sin2C，
∵sin（A+B）=sn（π-C）=sinC，
∴sinC=-2sinCcosC，
结合sinC＞0，得-2cosC=1，cosC=-
∵C∈（0，π），∴C=；
（Ⅱ）∵，
∴由正弦定理得．
又∵S△ABC=absinC=ab=，∴ab=4，
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-ab
∴c2=c2-ab，可得=ab=4，解之得．