Question

甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

ξ		1	2	3
P		a	b

（1）求至少有一位学生做对该题的概率；
（2）求m，n的值；
（3）求ξ的数学期望．

Answer

（1）利用“至少有一位学生做对该题”事件的对立事件的概率即可得出；
（2）利用P（ξ=0）与P（ξ=3）的概率即可得出m，n；
（3）利用（2）及与b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）即可得出a，b．
【解析】
设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，
由题意知，．
（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ=0”是对立的，
所以至少有一位学生做对该题的概率是．
（2）由题意知，
           ，
整理得  mn=，．
由m＞n，解得，．
（3）由题意知=，
b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=，
∴ξ的数学期望为Eξ==．