Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足：．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若数列{b_n}的满足b_n=log₂（a_n+2），T_n为数列的前n项和，求证：．

Answer

（1）Sn=2an-2n①，n≥2时，Sn-1=2an-1-2（n-1）②，①-②可得数列递推式，通过变形可构造一等比数列，求出该等比数列的通项公式，进而可得an；
（2）由（1）可求得bn，从而可得，利用错位相减法可求得Tn，通过作差可判断{Tn}的单调性，由此可求得其最小值，从而可证明；
（1）【解析】
当n∈N*时，Sn=2an-2n①，则当n≥2时，Sn-1=2an-1-2（n-1）②，
①-②，得an=2an-2an-1-2，即an=2an-1+2，
∴an+2=2（an-1+2），∴，
当n=1时，S1=2a1-2，则a1=2．
∴{an+2}是以a1+2=4为首项，2为公比的等比数列，
∴，∴；
（2）证明：，∴，
则③，
…④，
③-④，得+-=+-=，
∴Tn=-．
当n≥2时，，
∴{Tn}为递增数列，∴．