Question

已知函数f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R），给出下列命题：
（1）f（x）必是偶函数；
（2）当f（0）=f（2）时，f（x）的图象关于直线x=1对称；
（3）若a²-b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数；
（4）f（x）有最大值|a²-b|．
其中正确的命题序号是（ ）
A．（3）
B．（2）（3）
C．（3）（4）
D．（1）（2）（3）

Answer

分别讨论参数a，b的取值情况，结合二次函数的图象和性质进行判断即可．（1）利用奇偶性的定义可以判断，当a≠0时，f（x）必非奇非偶函数．（2）由f（0）=f（2）得到a，b的关系，然后根据a，b的关系通过配方得到对称轴．（3）当a2-b≤0时，此时x2-2ax+b=（x-a）2+b-a2≥0，此时可以去掉绝对值，利用二次函数的性质判断．（4）由（3）可以知道当a2-b≤0时，二次函数开口向上有最小值．
【解析】
（1）当a=0时，函数f（x）是偶函数，当a≠0时，f（x）必非奇非偶函数，所以（1）错误．
（2）若f（0）=f（2），则|b|=|4-4a+b|，所以4-4a+b=b或4-4a+b=-b，即a=1或b=2a-2．当a=1时，f（x）的对称轴为x=1．
当b=2a-2时，f（x）=|x2-2ax+2a-2|=|（x-a）2-2-a2|，此时对称轴为x=a，所以（2）错误．
（3）若a2-b≤0，则f（x）=|x2-2ax+b|=|（x-a）2+b-a2|=（x-a）2+b-a2，所以此时函数区间[a，+∞）上是增函数，所以（3）正确．
（4）由（3）知，当a2-b≤0，函数f（x）有最小值|a2-b|=a2-b，所以（4）错误．
故选A．