Question

设f（x）为定义在区间I上的函数．若对I上任意两点x₁，x₂（x₁≠x₂）和实数λ∈（0，1），总有f（λx₁+（1-λ）x₂）＜λf（x₁）+（1-λ）f（x₂），则称f（x）为I上的严格下凸函数．若f（x）为I上的严格下凸函数，其充要条件为：对任意x∈I有f^∥（x）＞0成立（f^∥（x）是函数f（x）导函数的导函数），则以下结论正确的有    ．
①f（x）=，x∈[0，2014]是严格下凸函数．
②设x₁，x₂∈（0，）且x₁≠x₂，则有
③若f（x）是区间I上的严格下凸函数，对任意x∈I，则都有f（x）＞f′（x）（x-x）+f（x）
④f（x）=+sinx，（x∈（，））是严格下凸函数．

Answer

根据严格下凸函数的充要条件，求f∥（x）＞0恒成立即可．
【解析】
①因为f（x）==，所以f'（x）=，
所以f∥（x）=，当x∈[0，2014]时，f∥（x）＞0恒成立，所以①正确．
②若，则，而，
所以有不成立，所以②错误．
③因为f（x）=x2为严格下凸函数，则f'（x）=2x，f∥（x）=2＞0恒成立，当x=1时，f′（1）=2，f（1）=1，
此时不等式等价为，f（x）＞2（x-1）+1=2x-1，当x=0时，f（0）=0＞-1不成立，所以③错误．
④若f（x）=+sinx，则f'（x）=，f∥（x）=x-sinx，当x∈[，]，设y=x-sinx，则y'=1-cosx≥0，所以函数f∥（x）=x-sinx单调递增，
所以f∥（）=），所以f（x）=+sinx，（x∈（，））是严格下凸函数，所以④正确．
故答案为：①④．