Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．

Answer

（1）由题意可得2a=2×2b，，再由c2=a2-b2可解得a，b；
（2）设直线l的方程为：y=kx+m（k≠0，m≠0），代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，设M（x1，y1）、N（x2，y2），由直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，得，变形后代入韦达定理可求出k值，由△＞0 得m的范围，利用三角形面积公式表示出面积，根据m的范围可得答案；
解析：（1）由已知得解得，
所以椭圆C的方程：；
（2）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m（k≠0，m≠0），
联立 消去y并整理，得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，
则△=64k2m2-16（1+4k2）（m2-1）=16（4k2-m2+1）＞0，
此时设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，，
于是y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，
又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，
∴=k2⇒-=0，
由m≠0得：⇒k=．
又由△＞0 得：0＜m2＜2，显然m2≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，矛盾！）
设原点O到直线l的距离为d，则
×=|m|=，
故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）．