Question

已知函数h（x）=lnx+
（1）若g（x）=h（x+m），求g（x）的极小值；
（2）若φ（x）=h（x）--2x有两个不同的极值点，其极小值为M，试比较2M与-3的大小关系，并说明理由；
（3）若f（x）=h（x）-，设S_n=．是否存在正整数n，使得当n＞n时，恒有S_n+T_n＜+nln4．若存在，求出一个满足条件的n，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由已知可得g（x）的表达式，求导数判单调性可得极小值；（2）可得φ（x），求导数可得极值M，构造函数v（x）=-1+2lnx-2x，再次求导数判单调性可得；（3）由数列的求和方法分别求得Sn和Tn，归纳可得，累加可得，可得存在正整数n=2014使之成立．
【解析】
（1）∵g（x）=h（x+m）
∴g（x）=ln（x+m）+  （x＞-m）
∴g′（x）=-= 

x （-m，1-m） 1-m （1-m，+∞）
 g′（x） - +
g（x） 递减 极小值 递增

所以g（x）极小值=g（1-m）=1
（2）由题意可得φ（x）=h（x）--2x=ax2-2x+lnx  （x＞0）
求导数可得φ′（x）=2ax-2+=  （x＞0），
∵φ（x）有两个不同的极值点，∴2ax2-2x+1=0在（0，+∞）有两个不同的实根．
设p（x）=2ax2-2x+1，设两根为x1，x2，且x1＜x2，
则有，解之可得，

x （0，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
 φ′（x） + - +
φ（x） 递增 极大值 递减 极小值 递增

∴
又p（x）=0在（0，+∞）的两根为x1，x2∴
∴=
∴2M=-1+2lnx2-2x2，∵ ，∴x2＞1，
令v（x）=-1+2lnx-2x，v′（x）=-，
∴x＞1时，v′（x）＜0，v（x）在（1，+∞）递减，
∴x＞1时，v（x）=-1+2lnx-2x＜v（1）=-3
∴2M＜-3
（3）要使n＞n时，恒有即：
∵.；
=
同理：=
∴
由（1）的结论，令m=1得即：
∴即：，…
累加：＜ln2即：
又
∴
要使只需要，即：n＞2014
综上所述，存在正整数n=2014，使得当n＞n时，恒有nln4＜Sn+Tn＜+nln4