Question

已知函数，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

Answer

（Ⅰ）当a=1时，求导函数，确定切点坐标与切线的斜率，即可得到曲线y=f（x）在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求导函数可得，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间．
【解析】
（Ⅰ）当a=1时，，．    …（2分）
∴f'（0）=2，
∵f（0）=0，
∴曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x-y=0．…（4分）
（Ⅱ）求导函数可得，．                             …（6分）
当a=0时，，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．          …（7分）
当a≠0，．
①当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=-a，，f（x）与f'（x）的情况如下：

x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f'（x） - + -
f（x） ↘ f（x1） ↗ f（x2） ↘

故f（x）的单调减区间是（-∞，-a），；单调增区间是．…（10分）
②当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：

x （-∞，x2） x2 （x2，x1） x1 （x1，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ f（x2） ↘ f（x1） ↗

所以f（x）的单调增区间是；单调减区间是，（-a，+∞）．…（13分）
综上，a＞0时，f（x）在（-∞，-a），单调递减；在单调递增．a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；a＜0时，f（x）在，（-a，+∞）单调递增；在单调递减．