Question

设过点M（-1，0）的直线与椭圆x²+3y²=a²（a＞0）相交于A，B两个不同的点，且=2．记O为坐标原点．求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．

Answer

设A（x1，y1），B（x2，y2）．利用根与系数的关系及向量相等得到y1，y2的关系及可用k来表示，再利用三角形的面积公式，从而得△OAB的面积 S=|OC|•|y2-y1|及基本不等式的性质，即可得出取得面积最大值时的k的值，进而得到a的值．
证明：由y=k（x+1）（k≠0）得x=y-1．
并代入椭圆方程x2+3y2=a2消去x得（3+k2）y2-6ky+3k2-k2a2=0   ①
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由①，得y1+y2=，②
∵=2．而点M（-1，0），
∴（-1-x1，-y1）=2（x2+1，y2），
得y1=-2y2代入②，得y2=，③
∴△OAB的面积 S=|OC|•|y2-y1|=|y2|=≤=，
当且仅当k2=3，即k=±时取等号．
把k的值代人③可得y2=±，这两组值分别代入①，均可解出a2=15．
∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是x2+3y2=15．