Question

已知函数．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值范围．

Answer

（I）当a=2时，写出f（x）的表达式，对f（x）进行求导，求出x=1处的斜率，再根据点斜式求出切线的方程；
（II）求出函数的定义域，令f′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间；
（III）由题意可知，对任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0成立，只需任意的x∈[1，+∞），f（x）min≥0．下面对a进行分类讨论，从而求出a的取值范围；
【解析】
（Ⅰ）a=2时，…（1分）
…（2分）
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x+y-1=0…（3分）
（Ⅱ）…（4分）
①当a＜0时，恒成立，函数f（x）的递增区间为（0，+∞）
…（6分）
②当a＞0时，令f'（x）=0，解得或

x （ 0，） （ ，1）
f′（x） - +
f（x） 减 增

所以函数f（x）的递增区间为，递减区间为
…（8分）
（Ⅲ）对任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0成立，只需任意的x∈[1，+∞），f（x）min≥0
①当a＜0时，f（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以只需f（1）≥0
而
所以a＜0满足题意； …（9分）
②当0＜a≤1时，，f（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以只需f（1）≥0
而
所以0＜a≤1满足题意；…（10分）
③当a＞1时，，f（x）在上是减函数，上是增函数，
所以只需即可
而
从而a＞1不满足题意； …（12分）
综合①②③实数a的取值范围为（-∞，0）∪（0，1]．…（13分）