Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，a_n+1=3S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n为数列{na_n}的前n项和，求T_n．

Answer

（Ⅰ）由an+1=3Sn+1得，n≥2时an=3Sn-1+1，两式相减得递推公式，再验证n=1时是否满足，判断出数列{an}是等比数列，代入通项公式即可；
（Ⅱ）由（I）和题意表示出Tn，再由错位相减法求出数列的前n项和．
【解析】
（Ⅰ）由题意，an+1=3Sn+1，
则当n≥2时，an=3Sn-1+1．
两式相减，得an+1=4an（n≥2）．
又∵a1=1，a2=4，∴，
∴数列{an}是以首项为1，公比为4的等比数列，
∴（n∈N*），
（Ⅱ）由（I）得，
，
∴，
两式相减得，，
整理得，（n∈N*）．