Question

已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（II）若关于x的方程，在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（III）证明：对任意的正整数n，不等式成立．

Answer

（Ⅰ）求出f′（x），因为函数在x=0处取极值，所以f'（0）=0求出a即可；
（Ⅱ）把a=1代入求得f（x）的解析式，把f（x）代入方程中得 ．然后令 ，求出导函数，讨论导函数的增减性，得到b的取值范围；
（Ⅲ）求出f′（x）=0时x的值，讨论函数的增减性得到函数的最大值为f（0），故ln（x+1）-x2-x≤0，然后取x=＞0，代入得到结论成立．
【解析】
（Ⅰ），∵x=0时，f（x）取得极值，
∴f'（0）=0，
故 ，解得a=1．经检验a=1符合题意．
（Ⅱ）由a=1知 ，得 ．
令 ，
则 在[0，2]上恰有两个不同的实数根，
等价于φ（x）=0在[0，2]上恰有两个不同实数根． ，
当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，于是φ（x）在[0，1]上单调递增；
当x∈（1，2）时，φ'（x）＜0，于是φ（x）在[1，2]上单调递减；
依题意有，解可得
（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）-x2-x的定义域为{x|x＞1}．
由（Ⅰ）知 时，（舍去），
∴当-1＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
∴f（0）为f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴f（x）≤f（0），
故ln（x+1）-x2-x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）．
对任意正整数n，取 得，．
即
分别取n=1，2，3，…，n得：
，
，
…
．
以上n个式子相加得：．