Question

设函数f（x）的定义域为R，且f（x+2）=f（x+1）-f（x），若f（4）＜-1，，则a的取值范围是（ ）
A．（-∞，3）
B．（0，3）
C．（3，+∞）
D．（-∞，0）∪（3，+∞）

Answer

先根据条件f（x+2）=f（x+1）-f（x）可得函数的周期性，然后将f（2011）转化成f（4），根据f（4）的范围建立不等关系，解之即可求出a的取值范围．
【解析】
∵f（x+2）=f（x+1）-f（x），①
∴f（x+3）=f（x+2）-f（x+1）②
将①+②得f（x+3）=-f（x）
∴f（x+6）=f（x）
∴f（2011）=f（7+334×6）=f（7）=f（4+3）=-f（4）
∵f（4）＜-1
∴=-f（4）＞1
解得a＞3
故选C．