Question

设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数f（x）=x（a＞0）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2．
（1）判定函数f（x）在区间（x₁，x₂）上的单调性；
（2）求a的取值范围．

Answer

（1）利用导数和极值，单调性之间的关系，确定函数的单调性．
（2）利用二次函数的图象和性质求a的取值范围．
【解析】
（1）由已知f'（x）=ax2+bx-a2
∵x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个极值点．
∴x1，x2是f'（x）=0的两个根．
即f'（x）=a（x-x1）（x-x2）（a＞0）（2分）
列表如下：

x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

由上表可知f（x）在区间（x1，x2）上单调递减（6分）
（2）∵的两个根，
∴，
∵a＞0，∴x1x2＜0，
又x1＜x2，∴x1＜0＜x2
∵|x1|+|x2|=2，
∴（10分）
∴，∴b2=4a2（1-a）≥0
而a＞0，∴0＜a≤1（12分）