Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，S_n为其前n项和，且满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若f（x）=2^x-1，c_n=，Q_n=c₁f（1）+c₂f（2）+…+c_nf（n），求证Q_n＜（n∈N*）．

Answer

（1）由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1得（n≥3，n∈N*），利用累加法可求得an，注意验证a1=3，a2=5的情形；
（2）由（1）易求，利用错位相减法可求得Tn；
（3），利用裂项相消法可求得Qn，然后适当放缩可证明不等式；
【解析】
（1）由，
∵a2=5，∴当n≥3时，an=a2+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）=5+22+23+…+2n-1=2n+1，
经验证a1=3，a2=5也符合上式，
∴；
（2）由（1）可得，
∴①②，
①-②有：，
∴；
（3）∵，
∴，
∴Qn=c1f（1）+c2f（2）+…+cnf（n）
=
=．