Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，分别过A、C作平面ABC的垂线AA′和CC′，AA′=h₁，CC′=h₂，且h₁＞h₂，连接A′C和AC′交于点P．
（I）设点M为BC中点，求证：直线PM与平面A′AB不平行；
（II）设O为AC中点，若h₁=2，二面角A-A′C′-B等于45°，求直线OP与平面A′BP所成的角．

Answer

（I）由要证明的结论的特点，考虑利用反证法：假设直线PM∥平面A′AB可得PM∥A′B，又M为BC的中点，故可得P为A′C的中点，又AA′∥CC'可得与h1＞h2矛盾
（II）连接BO，则BO⊥AC由A′A⊥平面ABC可得平面A′ACC′⊥平面ABC，则BO⊥平面A′ACC'，在平面A′ACC′内过O作A′C′的垂线，垂足为D，连接OD，则∠BDO为二面角B-A′C′-A的平面角，结合已知条件可求
【解析】
（I）证明：连接PM，假设直线PM∥平面A′AB
∵PM⊂平面A′BC，平面A′BC∩平面A′AB=A′B
∴PM∥A′B
又∵M为BC的中点，故P为A′C的中点
∵AA′⊥平面ABC，CC′⊥平面ABC
AA′∥CC′
∴∴
∴h1=h2
与h1＞h2矛盾
假设错误，所以直线PM与平面A′AB不平行
（II）（法一）连接BO，则BO⊥AC
∵A′A⊥平面ABC，∴平面A′ACC′⊥平面ABC
∵平面ABC∩平面A′ACC′=AC
∴BO⊥平面A′ACC′
在平面A′ACC′内过O作A′C′的垂线，垂足为D，连接OD，则∠BDO为二面角B-A′C′-A的平面角
∴∠BDO=45°∴△BDO为等腰直角三角形，OD=
∵且∠A′AO=∠A′DO=90°
∴Rt△A′AO≌Rt△A′DO∴A′D=2同理得C′D=h2
则由勾股定理可得∴h2=1
又直线OP与平面A′BP所成的角即直线OP与平面A′BC所成的角，设为α，设点O到平面A′BC的距离为ho，
点P到平面ABC的距离为hp
则  ，S△OBC=1
由等体积法可得
在平面A′ACC′内可求得OP=，∴
所以直线OP与平面A′BP所成的角为60°．