Question

对于空间四个不同的点A，B，C，D，有下面5个命题：
①若AB与CD共面，则AC与BD共面；
②若AB与CD异面，则AC与BD异面；
③若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，则AD⊥BC；
⑤若AB=AC=AD，BC=CD=DB，则A，B，C，D一定是正三棱锥的四个顶点．
则以上正确的命题序号是    ； （注：填上全部正确的命题序号．）

Answer

由直线的位置关系定义，判断①②正确；③的证明可转借化证明BC⊥面AHD；
④的证明可转化为证垂心，然后再证明BC⊥面AED来证明BC⊥AD；
⑤由正三棱锥的定义来判断即可．
【解析】
①若AB与CD共面，则AC与BD共面，显然①正确；
②若AB与CD异面，则AC与BD异面，显然②正确；
③取BC的中点H，连接AH与DH，可证得BC⊥面AHD，进而可得BC⊥AD，故③正确；
④作AE⊥面BCD于E，连接BE可得BE⊥CD，同理可得CE⊥BD，证得E是垂心，则可得得出DE⊥BC，
进而可证得BC⊥面AED，即可证出BC⊥AD．故④正确；
⑤虽有AB=AC=AD，BC=CD=DB，当A，B，C，D在同一平面内，四点不构成三棱锥，故⑤不正确．
故答案为 ①②③④