如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC=BC=BB...

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D为AB的中点，且CD⊥DA₁．
（Ⅰ）求证：BB₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证：BC₁∥平面CA₁D；
（Ⅲ）求三棱锥B₁-A₁DC的体积．

（Ⅰ）要证BB1⊥平面ABC，必须证明BB1⊥平面ABC内的两条相交直线，AB、CD即可．（Ⅱ）要证BC1∥平面CA1D，必须证明BC1∥平面CA1D内的一条直线，因而连接AC1与A1C的交点E与D，证明即可．（Ⅲ）求三棱锥B1-A1DC的体积，就是求C-A1B1D的体积，求出底面面积和高即可．【解析】（1）∵AC=BC，D为AB的中点．∴CD⊥AB 又∵CD⊥DA1，∴CD⊥平面ABB1A1∴CD⊥BB1 又BB1⊥AB，AB∩CD=D ∴BB1⊥面ABC．（2）连接BC1，连接AC1交A1C于E，连接DE，E是AC1中点， D是AB中点，则DE∥BC1，又DE⊂面CA1D1BC1∉面CA1D1 ∴BC1∥面CA1D （3）由（1）知CD⊥平面AA1B1B 故CD是三棱锥C-A1B1D的高在Rt△ACB中，AC=BC=2，∴AB=2，CD=又BB1=2 ∴VB1-A1DC=VC-A1B1D=S△A1B1DCD=A1B1×B1B×CD =．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等