Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，则p的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

设A（x1，y1），B（x2，y2），由点差法得到•（y1+y2）=2p，因为过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，所以=1，AB方程为：y=x-，故y1+y2=2p，AB中点横坐标为，再由线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，能求出p．
【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ①-②，得：（y1-y2）（y1+y2）=2p（x1-x2），
∴•（y1+y2）=2p，
∵过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A，B两点，
∴=1，AB方程为：y=x-，
∵为AB中点纵坐标，
∴y1+y2=2p，
∵，，
∴y1+y2=x1+x2-p，
∴x1+x2=y1+y2+p，
∵=，
∴AB中点横坐标为，
∵线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，
∴，解得p=2．
故选B．