Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，PA⊥底面ABCD其中AB⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=PA=2AB，E是PC中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求异面直线PD与BC所成角的余弦值．

Answer

（1）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（2）先作出异面直线所成的角，再使用余弦定理即可求出．
【解析】
（1）取PD中点F，连接EF，AF，
∵E是PC的中点，∴，
又∵，∴，
∴四边形ABEF是平行四边形，∴BE∥AF，
∵BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）取CD的中点H，连接AH、EH、AE、BH，
∵，∴，
∴四边形ABCH为平行四边形，∴．
令AB=1，
在Rt△ADH中，由勾股定理得=．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，
∴，AF=．
∵四边形ABHD为平行四边形，AD⊥AB，
∴四边形ABHD为矩形，∴=．
由三角形的中位线定理可知：=，
由以上作法可知：∠AHE或其补角即为异面直线PD与BC所成的角．
∵PA⊥AB，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥AF．
又∵四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF为矩形，
∴=．
在△AEH中，由余弦定理得cos∠AHE==．
因此异面直线PD与BC所成角的余弦值为．