Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，且AA₁=AB=BC=AC=a，点E是棱AB的中点．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CE；
（2）求三棱锥E-A₁CC₁的体积．

Answer

（1）连接AC1交A1C于点F，连接EF，由E是AB中点，F是AC1中点，知EF∥BC1，由此能够证明BC1∥平面A1CE．
（2）过E作EG⊥AC于G，由AA1⊥平面ABC，知AA1⊥EG，由EG⊥AC，知EG⊥平面AA1CC1，由此能求出三棱锥E-A1CC1的体积．
【解析】
（1）连接AC1交A1C于点F，连接EF，
∵E是AB中点，F是AC1中点，∴EF∥BC1，
又∵EF⊂平面A1CE，BC1⊄平面A1CE，
∴BC1∥平面A1CE．…（6分）
（2）过E作EG⊥AC于G，
∵AA1⊥平面ABC，EG⊂平面ABC，
∴AA1⊥EG，
∵EG⊥AC，AC∩AA1=A，∴EG⊥平面AA1CC1，
在等边△ABC中，E是AB中点，EG⊥AC，AB=a，
∴EG=．
∵，
∴三棱锥E-A1CC1的体积为．…（12分）