Question

已知椭圆C中心在原点，一个焦点为F（-2，0），且长轴长与短轴长的比是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在斜率为的直线l，使直线l与椭圆C有公共点，且原点O与直线l的距离等于4；若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer

（1）由题设知c=2，且，a2=b2+c2，由此能求出椭圆C的方程．
（2）假设存在斜率为的直线方程y=，联立，得3x2+3mx+m2-12=0，由题设条件利用根的判别式和点到直线的距离公式能推导出直线l不存在．
【解析】
（1）∵椭圆C中心在原点，一个焦点为F（-2，0），
且长轴长与短轴长的比是，
∴c=2，且，a2=b2+c2，
∴，解得b2=12，∴a2=16，
∴椭圆C的方程为．
（2）假设存在斜率为的直线l，使直线l与椭圆C有公共点，且原点O与直线l的距离等于4，
设l的方程为y=，
联立，消去y并整理，得3x2+3mx+m2-12=0，
∵直线l与椭圆C有公共点，
∴△=9m2-12（m2-12）≥0，
解得-44，
∵原点O与直线l的距离等于4，
∴d=，∴m=∉[]，
∴假设不成立，故直线l不存在．