Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=AA₁=4，点O是AC的中点．
（1）求证：AD₁∥平面DOC₁；
（2）求异面直线AD₁和DC₁所成角的余弦值．

Answer

（1）连接CD1交C1D于点E，连接OE，由E是CD1中点，O是AC中点，知OE∥AD1，由此能证明AD1∥平面DOC1．
（2）连接BC1，BD，由E是PC中点，知EG∥DP．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，由AB∥A1B1∥C1D1，AB=A1B1=C1D1，知四边形ABC1D1是平行四边形，所以∠BC1D或其补角为异面直线AD与C1D所成的角，由此能求出异面直线AD1与C1D所成的角的余弦值．
（1）证明：连接CD1交C1D于点E，连接OE
∵E是CD1中点，O是AC中点∴OE∥AD1
又∵OE⊂平面DOC1，AD1⊄平面DOC1
∴AD1∥平面DOC1…（6分）
（2）【解析】
连接BC1，BD
∵E是PC中点∴EG∥DP在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1∥C1D1，AB=A1B1=C1D1
∴四边形ABC1D1是平行四边形
∴BC1∥AD1
∴∠BC1D或其补角为异面直线AD与C1D所成的角…（3分）
在△BC1D中，BC1=4，C1D=5，BD=5，
∴cos∠BC1D=，
∴异面直线AD1与C1D所成的角的余弦值为．…（3分）