Question

已知椭圆C₁的方程为+y²=1，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线C₂的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足•＜6（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）设出双曲线的标准方程，然后结合椭圆的顶点与焦点易得双曲线的焦点与顶点，即求得双曲线的c与a，再由a2+b2=c2求得b2，则双曲线方程解决；
（Ⅱ）把直线方程分别与椭圆方程、双曲线方程联立，不妨消y得x的方程，则它们均为一元二次方程且判别式大于零，由此得出k的取值范围；再结合一元二次方程根与系数的关系用k的代数式表示出xA+xB，xAxB，进而把转化为k的不等式，求出k的又一取值范围，最后求k的交集即可．
【解析】
（Ⅰ）设双曲线C2的方程为-=1，则a2=4-1=3，再由a2+b2=c2得b2=1．
故C2的方程为-y2=1．
（II）将y=kx+代入+y2=1得（1+4k2）x2+8kx+4=0
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得△1=-16（1+4k2）=16（4k2-1）＞0，
即k2＞①
将y=kx+代入-y2=1得（1-3k2）x2-6kx-9=0．
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得
即k2≠且k2＜1．②
设A（xA，yA）B（xB，yB），则xA+xB=，xA•xB=．
由•＜6得xAxB+yAyB＜6，
而xAxB+yAyB=xAxB+（kxA+）（kxB+）
=（k2+1）xAxB+（xA+xB）+2
=（k2+1）•+k•+2
=．
于是＜6，即＞0．
解此不等式得k2＞或k2＜．③
由①、②、③得＜k2＜或＜k2＜1．
故k的取值范围为（-1，-）∪（-，-）∪（，）∪（，1）．