Question

已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x₁，x₂都有f=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（2x²-1）＜2．

Answer

（1）根据题意和式子的特点，先令x1=x2=-1求出f（-1）=0，再令x1=-1，x2=x求出f（-x）=f（x），则证出此函数为偶函数；
（2）先任取x2＞x1＞0，再代入所给的式子进行作差变形，利用x2=和且＞0，判断符号并得出结论；
（3）根据题意和（1）的结论，把不等式转化为f（|2x2-1|）＜f（4），再由（2）的结论知|2x2-1|＜4，故解此不等式即可．
【解析】
（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），
令x1=x2=-1，代入上式解得f（-1）=0，
令x1=-1，x2=x代入上式，∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）设x2＞x1＞0，则=
∵x2＞x1＞0，∴，∴＞0，
即f（x2）-f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（2）=1，∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
∵f（x）是偶函数，∴不等式f（2x2-1）＜2可化为f（|2x2-1|）＜f（4），
又∵函数在（0，+∞）上是增函数，∴|2x2-1|＜4，且2x2-1≠0，
即-4＜2x2-1＜4，且2x2≠1解得：，且x≠，
即不等式的解集为{x|，且x≠}．