Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PA上的一点，F是BC的中点．
（Ⅰ）求证：EC⊥BD；
（Ⅱ）若PE=EA，求证：EF∥平面PCD．

Answer

（1）连接AC，转化为证明直线BD⊥平面PAC；
（2）取PD中点M，连接EM，CM，根据线面平行的判定定理，只需证明EF∥CM．
证明：（1）连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，
又AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，
∵EC⊂平面PAC，
∴EC⊥BD．
（2）取PD中点M，连接EM，CM，则ME∥AD，ME=AD，
∵ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，
∵F为BC的中点，∴CF∥AD，CF=AD，
∴ME∥CF，ME=CF，∴四边形EFCM是平行四边形，
∴EF∥CM，又∵EF⊄平面PCD，CM⊂平面PCD，
∴EF∥平面PCD．