Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（1，-2）．
（1）求抛物线C的标准方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由．
（3）过抛物线C的焦点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁，l₂，设l₁与抛物线C相交于点M，N，l₂与抛物线C相交于点D，E，求的最小值．

Answer

（1）把点（1，-2）代入抛物线方程即可得出；
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t，与抛物线方程联立，由于直线l与抛物线C有公共点，可得△=4+8t≥0，解得t的取值范围．利用点到直线的距离可得：直线OA与l的距离，可得，解得t．
（3）由题意可知：设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线l1的斜率为k≠0，则l1的方程为y=k（x-1），与抛物线方程联立可得根与系数的关系；由于l1⊥l2，可得直线l2的斜率为，方程为，设D（x3，y3），B（x4，y4）．与抛物线方程可得根与系数的关系．再利用向量的数量积运算和基本不等式即可得出．
【解析】
（1）将（1，-2）代入y2=2px，得（-2）2=2p×1，解得p=2．
故所求抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=-1．
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t，
由得y2+2y-2t=0．
∵直线l与抛物线C有公共点，
∴△=4+8t≥0，解得，
由直线OA与l的距离，可得，解得t=±1．
∵-1，1，
∴符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0．
（3）由题意可知：设M（x1，y1），N（x2，y2），
设直线l1的斜率为k≠0，则l1的方程为y=k（x-1），联立，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
∴，x1x2=1．
∵l1⊥l2，∴直线l2的斜率为，方程为，设D（x3，y3），B（x4，y4）．
联立，化为x2-（2+4k2）x+1=0，
∴，x3x4=1．
∴=
=+
=+
=（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）
=x1x2+x1+x2+x3x4+x3+x4+2
=+1+2+4k2+2
=8+=16，当且仅当k=±1时取等号．
∴当k=±1时，的最小值为16．