Question

某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得）．
（1）求函数y=f（x）的解析式及定义域；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？

Answer

（1）函数y=f（x）=出租自行车的总收入-管理费；当x≤6时，全部租出；当6＜x≤20时，每提高1元，租不出去的就增加3辆；所以要分段求出解析式；
（2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．
【解析】
（1）当x≤6时，y=50x-115，令50x-115＞0，解得x＞2.3．
∵x∈N，∴x≥3，∴3≤x≤6，且x∈N．
当6＜x≤20时，y=[50-3（x-6）]x-115=-3x2+68x-115
综上可知
（2）当3≤x≤6，且x∈N时，∵y=50x-115是增函数，
∴当x=6时，ymax=185元．
当6＜x≤20，x∈N时，y=-3x2+68x-115=，
∴当x=11时，ymax=270元．
综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．