Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-2（a≠0）有且仅有两个不同的零点x₁，x₂，则（ ）
A．当a＜0时，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0
B．当a＜0时，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0
C．当a＞0时，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0
D．当a＞0时，x₁+x₂＞0，x₁x₂＜0

Answer

求导数可得x=0，或x=时，函数取得极值，要满足题意需f（）=0，可得a，b的关系，当a＞0时，x1+x2的正负不确定，不合题意；当a＜0，可得x1x2＜0，x1+x2＞0，进而可得答案．
【解析】
原函数的导函数为f′（x）=3ax2+2bx=x（3ax+2b），
令f′（x）=0，可解得x=0，或x=，
故当x=0，或x=时，函数取得极值，又f（0）=-2＜0，
所以要使函数f（x）=ax3+bx2-2（a≠0）有且仅有两个不同的零点，
则必有f（）=a+b-2=0，解得，且b＞0，
即函数的一根为x1=，
（1）如下图，若a＞0，可知x1=＜0，且为函数的极大值点，x=x2处为函数的极小值点，
此时函数有2个零点：，x2＞0，显然有x1x2＜0，但x1+x2的正负不确定，故可排除C，D；
（2）如图2，若a＜0，必有x1=＞0，此时必有x1x2＜0，x1=的对称点为x=，
则f（）=a+b-2=-2==8＞0，
则必有x2＞，即x2-＞0，即x1+x2＞0
故选B