Question

设集合M是R的子集，如果点x∈R满足：∀a＞0，∃x∈M，0＜|x-x|＜a，称x为集合M的聚点．则下列集合中以1为聚点的有（ ）
①；    
②；    
③Z；    
④{y|y=2^x}．
A．①④
B．②③
C．①②
D．①②④

Answer

由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．
【解析】
①中的元素构成以1为极限的数列，故对∀a＞0，∃x∈{ }，
使0＜|x-1|＜a成立，故此集合以1为聚点．
②集合{ }，其中的元素构成以0为极限的数列，故对∀a＞0，不存在x∈{ }，
使0＜|x-1|＜a成立，故1不是此集合的聚点．
③集合{Z}中的元素是整数，故对∀a＞0，不存在x∈Z，使0＜|x-1|＜a成立，∴1不是集合Z的聚点．
④集合{y|y=2x}=（0，+∞），∀a＞0，一定∃x∈M，使0＜|x-1|＜a 成立，故此集合以1为聚点．
故选A．