Question

定义在（-∞，0）∪（0，+8）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞上的如下函数：
①f（x）=2^x；
②f（x）=log₂|x|；
③f（x）=x²；
④f（x）=ln2^x，
则其中是“等比函数”的f（x）的序号为    ．

Answer

根据新定义“保比等比数列”，结合等比数列中项的定义an•an+2=an+12，逐一判断四个函数，即可得到结论．
【解析】
由等比数列性质知an•an+2=an+12，
①当f（x）=2x时，f（an）f（an+2）=2an•2an+2=2an+an+2≠22an+1=f2（an+1），故①不正确；
②f（an）f（an+2）=log2|an|log2|an+2|≠log2|an+1|2=f2（an+1），故②不正确；
③当f（x）=x2时，f（an）f（an+2）=an2an+22=（an+12）2=f2（an+1），故③正确；
④f（an）f（an+2）=anln2•an+2ln2=an+12ln22=f2（an+1），故④正确；
故答案为：③④．