Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1），
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）与圆x²+（y+1）²=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M，N，若抛物线上一点C满足（λ＞0），求λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ） 设抛物线方程为x2=2py，把点（2，1）代入求得p即可；
（II） 因为直线与圆相切，利用相切的性质即可得出k与t 的关系式，再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用判别式△＞0得到t的取值范围，利用根与系数的关系及已知满足（λ＞0），即可得出λ的取值范围．
解（Ⅰ） 设抛物线方程为x2=2py，
由已知得：22=2p所以 p=2
所以抛物线的标准方程为 x2=4y．
（Ⅱ） 因为直线与圆相切，
所以 
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2-4kx-4t=0
由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0
得 t＞0或t＜-3
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=4k
由
得 C（4kλ，（4k2+2t）λ）
因为点C在抛物线x2=4y上，
所以，16k2λ2=4（4k2+2t）λ
因为t＞0或t＜-3，
所以 2t+4＞4或 2t+4＜-2
所以 λ的取值范围为 ．