Question

已知函数f（x）=（x²+x-a）e（a＞0）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x=-5时，f（x）取得极值，求函数f（x）在[m，m+1]（m≥-5）上的最小值．

Answer

（1）求函数的导数，利用导数确定函数的单调区间．
（2）利用导数确定函数的极值，通过讨论确定函数在给定区间上的最小值．
【解析】
（1），
当a=1时，f'（x）=x（x+3）ex．
解f'（x）＞0得x＞0或x＜-3，解f'（x）＜0得-3＜x＜0，
所以f（x）单调增区间为（-∞，-3）和（0，+∞），单调减区间为（-3，0），
（2）当x=-5时，f（x）取得极值，所以，解得a=2（经检验a=2符合题意）所以．

x （-∞，-5） -5 （-5，0） （0，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ ↘ ↗

所以函数f（x）在（-∞，-5），（0，+∞）递增，在（-5，0）递减
当-5≤m≤-1时，f（x）在[m，m+1]单调递减，．
当-1＜m＜0时，m＜0＜m+1，
f（x）在[m，0]单调递减，在[0，m+1]单调递增，fmin⁡（x）=f（0）=-2，
当m≥0时，f（x）在[m，m+1]单调递增，．
综上，f（x）在[m，m+1]上的最小值．